施莱夫利符号

数学来自中，施莱夫利符号(Schläfli symbol)360百科是一个可以表示一特定正多胞体若干重要特性的符号。其命名是为了纪念19世纪数学家路德维希·施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。

• 中文名称 施莱夫利符号
• 外文名称 Schläfli symbol
• 性质 若干重要特性的符号
• 意义 纪念数学家路德维希施莱夫利

符号简介

正多边形

　　一个有n个边的多边形，其施莱夫利符号为{n}。例如，来自施莱夫利符号为{5}的多边形即为五边形。

星形多边形

　　星形多边形(Star 钢阿秋polygon)指的是正非凸多边形，即边长相等的凹多边形或复杂多边形。星形多边形的施莱夫利符360百科号若为{p/q}，表示此一星形多边形有p的角，每一个角都和次q的角相连。因此{5/2}即代表的是五芒星。

星芒形

　　当p和浓跳翻夜用维q不互质时，此时的星形多边形即称为星芒形(star figure)。若p跟q的最大公因子为n，农己急此一星芒形即是由n个{p/n/q/n}相互商占存专种旋绕而成。例如，{6/2}，即六芒星(也称作2{3})，便是由两个三角负十庆弦菜伟品形{3/1}所组成的，而{10/4}则是由两个五芒星而背孔类争终所组成。

　　星芒形一般不会用在更高维的星形多面体与星形多胞体上，它实际上预是一种复合多边形/复尔句于李互第马看合星形多边形，而非"星形多边形"。它的三维类比是Stellation，即复合多面体/复合星形多面体--而这个Stellation是不会用施莱夫利符号表示的

正多面体

　　"正多面体的施莱夫调几区判让慢送利符号计做{p,q}，其中p推包秋端代表每个面的顶点数，而q代配并友什居征零跟表每个顶点和几个面相连"

　　--摘自中文wiki(居然只是很不厚道次大怕地摘取最简单的，四维以后的却没有写进去)

　　在正多面体{p,q}中，p可以说是表示每个面太干技名境只序是正p边形，q可以说是表示每个顶点的情况，也表示顶点图是正q普边形。

　　如正十二面体的施莱夫利符号是{5,3}，表示立方体的表面由正【5】边形构成，围绕任意一个点转一圈会划过【3】个正5边形(每个顶点和【3】个面相连)正多面苏张预把体

正多胞体

　　在云海派色告绿离电均苗哪四维空间中，一个正多胞体用符号{p,q,r}表散把手天做齐肉数皇但极示。

　　其中{p,q}表示组成这个正多胞体三维表面(Facet)，当然乙之罪{p,q}是正多面体;{q,r}表示每个顶点的情况，即顶点图(Vertex Figure)**;{r}是Edge Figure，表示每条棱的情况，与三维一样类比过来，简单地说r表示的是每条棱与多少个三维胞相连

　　如超立方体的施莱夫利符号是{4,3,3}，表示它的表面由立方体{4,3}构成，它的顶点图是正四面体{3,3}，每条棱与【3】({3,3}的第二个"3")个立方体相连

五维及更高维的正多胞形

　　在更高维的空间里，可以通过四维空间的施莱夫利符号的表示意义进行类比

　　一个n维空间的正多胞形(Regular n-polytope)用施莱夫利符号{p1,p2,...,pn-2,pn−1}表示，其中{p1,p2,...,pn−2}表示构成它的n-1维正多胞形;而{p2,p3,...,pn−1}则表示它的顶点图

　　事实上五维以及更高的维度中，每个维只有三个正多胞形，分别是

　　n-单形(n-simplex):{3,3,...,3}，缩写{3^n-1}(符号中有n-1个3，下同)，自身对偶

　　n-正方体(n-cube):{4,3,3,...,3}，缩写{4,3^n-2}，n-cross对偶

　　n-正轴体(n-cross)(其实这个没有中文翻译，名字来自日语):{3,3,...,3,4}，缩写{3^n-2,4}

各种正多胞形的施莱夫利符号

零维

　　点: .

一维

　　线段:{}

二维

　　正多边形与星形正多边形(∞)

　　如果p>2且p是整数，则有{p}为正多边形

　　如果p>2q≥2且p与q互质，则有{p/q}为星形正多边形

　　欧式一维正镶嵌(一种)

　　正无穷边形:{∞}

三维

　　正多面体(五种)

　　正四面体:{3,3}

　　立方体:{4,3}

　　正八面体:{3,4}

　　正十二面体:{5,3}

　　正二十面体:{3,5}

　　星形正多面体(四种)

　　小星形十二面体:{5/2,5}

　　大十二面体:{5,5/2}

　　大星形十二面体:{5/2,3}

　　大二十面体:{3,5/2}

　　欧式(平面)正镶嵌(三种)

　　正六边形平面镶嵌:{6,3}

　　正方形平面镶嵌:{4,4}

　　正三角形平面镶嵌:{3,6}

　　双曲正镶嵌与星形双曲正镶嵌(∞)

　　当2p+2q<pq，且p,q为正整数时，则有{p,q}为双曲正镶嵌

　　当m>6且m为奇数时，则有{m,m/2}和{m/2,m}为星形双曲正镶嵌

四维

　　正多胞体(六种)

　　正五胞体:{3,3,3}

　　超正方体:{4,3,3}

　　正十六胞体:{3,3,4}

　　正二十四胞体:{3,4,3}

　　正一百二十胞体:{5,3,3}

　　正六百胞体:{3,3,5}

　　星形正多胞体(十种)

　　(星形正多胞体的几何用语非常难翻译，个人把Grand译为"重")

　　Icosahedral 120-cell(二十面体形一百二十胞体):{3,5,5/2}

　　Small stellated 120-cell(小星形一百二十胞体):{5/2,5,3}

　　Great 120-cell(大一百二十胞体):{5,5/2,5}

　　Grand 120-cell(重一百二十胞体):{5,3,5/2}

　　Great stellated 120-cell(大星形一百二十胞体):{5/2,3,5}

　　Grand stellated 120-cell(重星形一百二十胞体):{5/2,5,5/2}

　　Great grand 120-cell(重大一百二十胞体):{5,5/2,3}

　　Great icosahedral 120-cell(二十面体形大一百二十胞体):{3,5/2,5}

　　Grand 600-cell(大六百胞体):{3,3,5/2}

　　Great grand stellated 120-cell(重大星形一百二十胞体):{5/2,3,3}

　　欧式三维正堆砌(一种)

　　立方体正堆砌:{4,3,4}

　　双曲三维正堆砌(四种)

　　考虑到这种双曲堆砌的组成和顶点图只能是正多面体(不能是正镶嵌)，故只有有限种

　　(order-n是翻译作n-阶吗?)

　　3阶正二十面体正堆砌:{3,5,3}

　　5阶立方体正堆砌:{4,3,5}

　　4阶正十二面体正堆砌:{5,3,4}

　　5阶正十二面体正堆砌:{5,3,5}

五维

　　五维正多胞形(三种)

　　五维正单形(Hexateron):{3,3,3,3}

　　五维正方形(Penteract，Decateron):{4,3,3,3}

　　五维正轴形(Pentacross，Triacontakaiditeron):{3,3,3,4}

　　欧式四维正堆砌(三种)

　　超正方体正堆砌:{4,3,3,4}

　　正十六胞体正堆砌:{3,3,4,3}

　　正二十四胞体正堆砌:{3,4,3,3}

　　双曲四维正堆砌(五种)

　　考虑到这种双曲堆砌的组成和顶点图只能是正多面体(不能是正镶嵌)，故只有有限种

　　(order-n是翻译作n-阶吗?)

　　3阶正一百二十胞体正堆砌:{5,3,3,3}

　　5阶正五胞体正堆砌:{3,3,3,5}

　　4阶正一百二十胞体正堆砌:{5,3,3,4}

　　5阶超正方体正堆砌:{4,3,3,5}

　　5阶正一百二十胞体正堆砌:{5,3,3,5}

　　星形双曲四维正堆砌(四种)

　　3阶小星形一百二十胞体正堆砌:{5/2,5,3,3}

　　5/2阶正六百胞体正堆砌:{3,3,5,5/2}

　　5阶二十面体形一百二十胞体正堆砌:{3,5,5/2,5}

　　3阶大一百二十胞体正堆砌:{5,5/2,5,3}

更高

　　更高维的正多胞形(均三种)

　　n-单形(n-simplex):{3,3,...,3}，缩写{3^n-1}(符号中有n-1个3，下同)，自身对偶

　　n-正方体(n-cube):{4,3,3,...,3}，缩写{4,3^n-2}，与n-cross对偶

　　n-正轴体(n-cross):{3,3,...,3,4}，缩写{3^n-2,4}，与n-cube对偶

　　更高维的欧式正堆砌(均一种)

　　n维正方体正堆砌:{4,3,…,3,4}，缩写{4,3^n-2,4}，自身对偶