复势函数

复势函数，究又称复势或简称复数，是表示平面场的 解析函数

• 中文名 复势函数
• 别称 复势
• 表达式 v( z) = p + qi 
• 应用学科 数学、物理

流量与环量

　　见以速度场为例

　　1. 流量与环量 设流体在z 平面上某一区域D 内流动,

　　v( z) = p + qi 是在点z∈D 处的流速, 其中p = p ( x, y), q =q( x, y)分别为v( z)的水平及垂直分速,并且假设它们都是连续的.

　　今考查流体在单位时间内流过以A 为起点, B 为终点的有向

　　曲线γ(图 3.17)一侧的流量(实际上是流体层的质量).为此取弧 元 ds, n 为其单位法向陆肉宜需想聚两得量,它指向曲线 γ的右边(顺着 A 来自到 B 的 方向看).显360百科然,在单位时间内流过ds 的流量为vn ds( vn 是v 在n

　　上的投影),再乘上流体层的厚度以及流体的密度(取厚度为一个

　此到这叶杂的期银括　单位长,密度为1).因此,这个流量的值就是

　　vn ds 131 ·

　　这里dε为切向量dz = dx + idy 之长.当v 与n 夹锐角时,流量

　　vn ds 为正;夹钝角时为负.

　　令

　　τ=dx/ds+ idy/ds

　　是顺 γ正向的单位切向量.故 n 恰好可由τ旋转 - π2

　　得到,曾移意轻协山煤息即

　　n = e^-侵映怀π/2i τ= 积分- 围零听己音再未银植批i τ=dy/ds- idx/ds

　　.

　　于是即得v 在n 上的投影为

　　vn = v·n = pdyds- qdxds

　　.以Nγ 表示单位时间内流过顺获兵径罪诗象扩章互γ的流量,则

　　Nγ =∫γpdyds- qdxdsds =∫γ- qdx + pdy.

流速的环量

　　在流体力学中,还有一个重要的概念,即流速的环量.它定义 为:流速在曲线γ上顶的切线分速,沿着该曲线的积分,以Γγ 表示.

　　于是Γγ =∫γpdxds+ qdydsds =∫γpd x + qdy.

　　我们可以借助于复积分把来表示环量和流量.为此,我们以

　　i 乘Nγ,再与Γγ 相加即得

　　Γγ + iNγ =∫ γ

　　p眼段d x + qdy + i∫γ

　　- qd x + pdy

　　=∫γ

　　( p - qi)( d x + idy)

　　即Γγ + iNγ =∫γ

　　v( z) dz.

　　令f( z) = φ( x, y) + iψ( x, y)

复势

　　w=φ + iψ为某一流引如介践呼飞喜源动的复势. 我们称 φ( x, y)为所述流动的势函数, 称 φ( x, y) = k( k 为实常数)为势线;称 ψ( x, y)为所述找到各介秋率还判流动的流函 数,称 ψ( x, y) = k( k 为实常数)为流线.

　　因

　　φx + iψx = f′( z) = v( z) = p - iq,

　　所以

　　p = φx = ψy , q = - ψx = φy . ( C来自. - R.)

　　又因工调或氧章器围克析流线上点z( x, y)的速度方向与该点的切线方向一致,即流

　　线机心评指何养掌形算五简的微分方程为

　　余效行资dx/p=dy/q,

　　即ψx dx + ψy dy = 0.

　　而ψ( x, y)为调和函数,我们有ψyx = ψxy ,于是

　　dψ( 易厚念被处别所胞向待聚x, y) = 0

　　所以ψ( x, y触再病经常夜责水) = k 就是流线方程的积分曲线.

　　流线与势线在流速不为零的点处互相正交(根据例2.10).

　　我们用复势来刻划流动比用复速度方便.因为由复势求复速

　　度只用到求导数,360百科反之则要用积分.另一方面,由复势容易求流线

　　和势线,这样就可以了解流动的概况.